La Racine Carrée

 

Rappellons d'abord la définition :

On appelle racine carrée d'un nombre positif x, un nombre positif a qui multiplié par lui-même donne x.
Ainsi on a a×a = x (ce que l'on peut noter a² = x). On note la racine carré de x : .
Des exemples : La racine carrée de 49 est 7 car 7² = 49, une valeur approchée de la racine carrée de 20 est 4,472... La racine carrée de - 5 n'existe pas car on ne peut pas trouver un nombre a tel que a² soit égal à - 5 : un carré est toujours positif !!

Ci dessous, on trouvera les rubriques suivantes :

 

 

 

L'extraction d'une racine carrée :


La présentation ressemble à celle de la division : le nombre dont on recherche la racine est écrit à la place du dividende, la racine elle-même sera à la place du diviseur.

1. On partage le nombre dont on recherche la racine par paquets de 2 chiffres en partant de la droite (le dernier paquet possède donc 1 ou 2 chiffres)

2. On cherche le plus grand carré inférieur à la première tranche (celle de gauche) et on inscrit sa racine à la place du ‘diviseur’.


Ici 1² < 2 et 2² > 4 donc on inscrit 1 au diviseur.

3. On retranche ce carré de la première tranche et on abaisse la tranche suivante.

On obtient alors ici 132

4. On double la racine obtenue et on l’inscrit à la place du quotient.

5. Il faut maintenant écrire à la droite de ce nombre le plus grand chiffre x de sorte que le produit par x ne dépasse pas le nombre obtenu au dividende.

On cherche donc un nombre pour que
2 Ÿ ´ Ÿ £ 132.
On a 25 × 5 = 125 et 26 ´ 6 = 156. Le chiffre x cherché est donc 5.

6. On inscrit x à gauche du diviseur et on soustrait le produit obtenu dans la partie dividende.

7. On recommence ensuite en abaissant la tranche suivante et en continuant à l’étape 4.

La dernière étape (avec un chiffre après la virgule) est :

(On peut bien sûr continuer tant que le reste est non nul...)

 

 

 

 

La construction d'une racine carrée avec la règle et le compas.

 

Pour tracer la racine carrée d'un nombre l :

On trace un segment [AB] de longueur l, que l'on prolonge d'un segment [AC] de longueur 1.
On trace ensuite le milieu I du segment [BC], par exemple en traçant la médiatrice de [BC].
Puis on trace un demi-cercle de centre I et de rayon IB.

Pour finir, on trace la perpendiculaire à (AB) passant par le point A. Cette droite et le demi-cercle se coupent en D.

La racine carrée du nombre l est alors la longueur AD.

 

 

 

 

 

 

Une méthode utilisée par les anciennes machines à calculer

Cette méthode était facilement utilisable sur les machines à calculer qui possédaient un compteur permettant de connaître le nombre d'opérations effectuées, c'était le cas par exemple de toutes les machines de type Odhner. Cependant, on pouvait appliquer cette méthode sur n'importe quelle machine, dès l'instant où on se rappelait le nombre d'opérations effectuées.

La méthode repose sur une propriéte des nombres impairs :

La somme des n premiers nombres impairs est égale à n².
En effet, si on ajoute les 3 premiers nombres impairs (1 + 3 + 5), on obtient 9 qui n'est autre que 3². Et cela marche pour n'importe quel nombre impair : Prenons le 6ème nombre impair (c'est-à-dire 11) et effectuons la somme 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11. On obtient 36 qui est bien égal à 6².
(La preuve de ce résultat, ici.)

Par conséquent, pour trouver la racine carrée d'un nombre, il suffit de soustraire de ce nombre successivement tous les nombres impairs : le nombre de soustractions possibles donne la partie entière de la racine carrée.
Un exemple : Calculons la racine carrée de 550.

 

Nb d'opérations

On ôte

Il reste

 

 

550

1

1

549

2

3

546

3

5

541

4

7

534

5

9

525

6

11

514

7

13

501

8

15

486

9

17

469

10

19

450

11

21

429

12

23

406

13

25

381

14

27

354

15

29

325

16

31

294

17

33

261

18

35

226

19

37

189

20

39

150

21

41

109

22

43

66

23

45

21

Le prochain reste serait négatif par conséquent la partie entière de la racine carré est égale à 23 (nombre de soustractions effectuées).
L'exemple donné ici montre bien que si le résultat est juste, la méthode est quand même assez longue. C'est pourquoi on combinait celle-ci avec la méthode de l'extraction de la racine carré à la main pour gagner un peu de temps.

Il est clair cependant que l'électronique a apporté un gain de temps considérable pour le calcul des racines carrées !!

 

 

 

 

 

 

 

 

Preuve du résultat : La somme des n premiers nombres impairs est égale à n².

Remarquons d'abord que le 1er nombre impair est 1 = 2 ×1 - 1, que le 2ème est 3 = 2 ×2 - 1, et que par conséquent le nème est 2 × n - 1.

Si on appelle S la somme des n premiers nombres impairs, on a alors
S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n - 1

Ecrivons S "à l'envers"
S = 2n - 1 + ... + 7 + 5 + 3 + 1

Si on ajoute les 2 dernières lignes, en remarquant que (2n -1) + 1 = (2n - 3) + 3 = ... = 2n, on obtient donc
2×S = 2n × (le nombre de nombres impairs)
d'où 2S = 2n × n c'est-à-dire S = n² !!