Le Problème de Napoléon
ou comment retrouver le centre d'un cercle à l'aide d'un compas uniquement ?

Imaginons un cercle tracé sans l'aide d'un compas (par exemple avec un verre ou une assiette retourné), ou mieux encore, un gateau dont on voudrait retrouver le centre.

Une méthode simple consiste à utiliser la règle et le compas pour tracer des médiatrices (Ceux qui auraient oublier la méthode, peuvent toujours cliquer ici.)

Mais savez-vous le faire avec un compas uniquement ?
Napoléon Bonaparte, lui, le savait.

Petite note historique :
C'est lors de la campagne d'Italie (1797) qu'il rencontra le mathématicien Mascheroni, spécialiste de la géométrie du compas. De retour en France, il exposa à l'Académie des Sciences les résultats de ce mathématicien ainsi que ce problème dont il donna une solution personnelle. A ce propos, Pierre Simon de Laplace (brillant mathématicien et ancien professeur de Napoléon) aurait dit :
"Nous attendions tout de vous, général, sauf des leçons de géométrie"

La méthode :

  Le but est donc de trouver le centre du cercle rouge à l'aide du compas uniquement. Il sera donc obtenu comme intersection de 2 cercles.

Pour plus de commodités, je noterais C(A,B) le cercle de centre A passant par le point B.

Commençons la construction :

Plaçons deux points A et B sur le cercle rouge, non diamétralement opposés. Cela signifie que le segment [AB] n'est pas un diamètre.

Traçons C(A,B) .
Ce cercle coupe le cercle rouge en D (et B bien sûr).
 
  Traçons C(B,A) et C(D,A).
Si vous avez bien compris, il s'agit du cercle de centre B passant par A et du cercle de centre D passant par A.

Ces deux cercles se coupent en E (et en A).

Traçons C(E,A).

Il coupe le cercle C(A,B) en F et G.

 
  La dernière étape :

Traçons C(F,A) et C(G,A).

Ces deux cercles se coupent en A et en O le centre du cercle cherché.

Une démonstration de cette construction se trouve dans le livre de J.C. Carrega : "Théorie des corps, La règle et le compas".

Bon, on sait donc retrouver le centre d'un cercle avec la règle et le compas, avec le compas seulement, mais qu'en est-il avec la règle uniquement ?
C'est David Hilbert (1862-1943) qui apporta la réponse :
"On ne peut pas construire le centre d'un cercle à la règle uniquement".

 

 

Construction du centre d'un cercle avec la régle et le compas.

Pour cela, on se sert du résultat suivant : Dans un triangle, les 3 médiatrices des côtés sont concourantes (c'est-à-dire se coupent toutes les trois en un même point), et le point d'intersection de ces médiatrices est le centre du cercle circonscrit (c'est-à-dire du cercle qui passe par les trois sommets du triangle).

  Le but est de trouver le centre du cercle rouge.

On commence par placer trois points A, B et C sur ce cercle.
Et on trace dans un premier temps, la médiatrice du segment [AB].

Pour cela, on trace deux cercles de même rayon de centre A et B. Le rayon doit être suffisament grand pour que les cercles se coupent. On appelle D et E leurs points d'intersection.

La droite (DE) est la médiatrice du segment [AB].

De la même manière, on trace la médiatrice de [BC].
Remarque : J'ai effacé les cercles verts précédents pour plus de clarté.

On trace donc les deux cercles de même rayon de centre B et C. On appelle G et F leurs points d'intersection.

La droite (GF) est la médiatrice du segment [BC].

Les deux médiatrices (en bleu sur la figure) se coupent en O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. C'est le centre que l'on cherchait !!