L'aiguille de Buffon
ou comment calculer le nombre p en laissant tomber une aiguille sur son parquet ?

Timbre français de 1949, valeur faciale 12F + 4F Georges Louis Leclerc (Montbard 1707 - Paris 1788) nommé comte de Buffon par Louis XV fut avant tout un naturaliste. Il est l'auteur de "l'Histoire naturelle" qui regroupe près de 40 volumes. Il a fait également des mathématiques avec plusieurs ouvrages comme une traduction de la "Méthode des fluxions et des suites infinies" de Newton, "des probabilités de la durée de la vie", ... Mais, il est surtout connu pour ses aiguilles...

Il a montré que la probabilité qu'une aiguille de longueur L, lancée sur un parquet dont les lattes ont une largeur L, coupe le bord d'une latte est 2/p.
Dans le cas général, pour une aiguille de longueur a et des lattes de largeur b, la probabilité est 2a/b
p.

Preuve de ce résultat : (Pour les non-matheux ou pour sauter la démonstration, il faut cliquer )

Pour éviter de dénombrer les cas où l'aiguille couperait plusieurs raies du parquet, on choisit a<b.

Si on note D1 et D2 les bords d'une lame de parquet, y la distance de la tête de l'épingle à la droite D1 et a l'angle que fait l'aiguille avec une parallèle à D1 orientée, on a alors
0
£ y £ b et -p £ a £ p.
Calculons, dans un premier temps, la probabilité p1 que l'aiguille coupe le bord D1 (on multipliera ensuite p1 par 2 pour avoir la probabilité p cherchée).
L'aiguille coupe D1 si a×sin a > y.

La probabilité est donc le quotient de l'aire A1 correspondant aux cas favorables d'intersection
{(
a, y) avec -p £ a £ p, 0 £ y £ b et y < a sin a}et de l'aire A2 correspondant à tous les cas possibles {(a, y) avec -p £ a £ p et 0 £ y £ b}.
On a alors A1= = -acos
p + acos 0 = 2a. et A2 = 2bp.
Donc p1 = 2a/2b
p= a/bp et p = 2a/bp.

CQFD

On peut bien sûr effectuer cette expérience chez soi pour calculer p (pensez à inviter beaucoup d'amis !!). Mais comme on va le voir plus loin, la méthode n'est pas très rapide. J'ai donc créé un fichier pour Excel 97 qui simule cette expérience (sans se fatiguer). Ce fichier est téléchargeable ici (zip 120 Ko) et peut-être distribué et utilisé librement en classe. Je vous demanderai simplement en contre-partie de m'envoyer un afin de connaitre vos impressions et vos utilisations de ce fichier. Il est important pour moi, vu le temps passé à faire ce fichier, de savoir si celui-ci est utile et si je dois continuer à créer des fichiers du même type.


Le fichier
Buffon.xls (573 Ko)

Ce fichier fonctionne de la même manière que la démonstration sauf que j'ai pris a = 1 et b = 1. Pour chaque lancer, je choisi 3 nombres au hasard x, y et a ; x et y étant les coordonnées de la tête d'épingle (le x ne sert à rien dans les calculs, c'est juste pour la représentation graphique) et a l'angle entre l'épingle et la direction des lames du parquet. Je teste ensuite s'il existe un entier entre y et y + sin a. En effet, les lames de parquets étant espacées de b = 1, les bords des lames correspondent aux entiers et les valeurs y et y + sin a ne sont rien d'autres que les ordonnées des extrémités de l'épingle.

Voici le type de résultat que l'on obtient :

Nombre de lancers Nombre d'intersections Rapport Pi calculé Erreur
1000 628 0,628 3,184713376 0,043120722
4000 2535 0,63375 3,15581854 0,014225887
7000 4460 0,637142857 3,139013453 0,002579201
10000 6402 0,640264026 3,12371134 0,017881313

Comme on le voit, la vitesse de convergence vers p n'est pas très bonne (voir plutôt mauvaise). Par contre, on arrive très rapidement dans l'intervalle [3,1 ; 3,2]. On a calculé que pour obtenir une précision de 1/1000 avec une probabilité de 95%, il faudrait lancer 900000 aiguilles environ.
Il faudrait peut-être faire une moyenne entre plusieurs lancers. Si vous voulez m'envoyer vos résultats, je me charge de faire une moyenne entre tous les résultats obtenus.

Attention, cependant à ne pas tricher ! Comme le fait remarquer Jean-Paul Delahaye dans son livre "Le fascinant nombre p", si on prend a = 78,5398 cm et b = 1 m, la probabilité donné par la formule de Buffon est 2×0,785398/p. Si on lance alors deux aiguilles et qu'une seule coupe un bord d'une lame, on obtient un rapport de 1/2 ce qui donne pour valeur de p une approximation de 4×0,785398 = 3,141592. Ce qui n'est pas trop mal !!